γραμμική παρεμβολή

Μέθοδος προσέγγισης μιας πραγματικής συνάρτησης f(x) με ένα πολυώνυμο (πολυώνυμο παρεμβολής). Αν θεωρήσουμε δύο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς χ0, χ1 και υποθέσουμε ότι η f(χ) είναι ορισμένη σε αυτά τα σημεία, τότε το πολυώνυμο Ρ(χ) που ικανοποιεί τις σχέσεις: Ρ(x0) = f(xo) και Ρ(x1) = f(x1) δίνεται από τον τύπο: Η χρησιμοποίηση της προσέγγισης P(x) ≈ f(x) λέγεται γ.π. Το επόμενο θεώρημα δίνει μια έκφραση για το σφάλμα κατά την προσέγγιση της συνάρτησης f(x) με το πολυώνυμο Ρ(x). Αν f(x) πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο κλειστό διάστημα [α, β] και α≤x0<x1≤β, τότε για κάθε x ∈[α, β] υπάρχει ένας αριθμός ξ, που εξαρτάται από τον χ και ικανοποιεί τη σχέση min (x0, x1, x) <ξ<max (x0, x1, x) τέτοιος ώστε Για παράδειγμα, αν f(x) = sinx, f(0,1) = 0,09983, f(0,2) = 0,19867 η προσεγγιστική τιμή της για f(0,16) είναι Ρ(0,16) ≈ 0,15913 και επειδή f“(x) = –sinx, το σφάλμα θα είναι: Η μέγιστη τιμή της | –sinx | στο [0,1, 0,2] δίνεται από: sin (0,2) = 0,19867. Επομένως και το ακριβές αποτέλεσμα με πέντε δεκαδικά ψηφία είναι 0,15932.